Лектор: Булатов Владимир Иванович, доц., кандидат физ.-мат. наук.

1-й курс, 1-й семестр 1998-1999 учебного года.
Краткое описание курса.

1. Основные операции над множествами. Числовые множества.
2. Сравнение действительных чисел. Границы и грани числовых множеств. Теорема о гранях.
3. Отображение множеств. Счетные и несчетные множества.
4. Числовые последовательности и их сходимость. Основные свойства сходящихся последовательностей.
5. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности.
6. Натуральное основание "e".
7. Теорема о существовании монотонной подпоследовательности. Принцип выбора.
8. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
9. Сходимость функции и её геометрический смысл.
10. Критерий Гейне сходимости функции.
11. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции через односторонние пределы.
12. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
13. Замечательный тригонометрический предел.
14. Замечательный показательно-степенной предел.
15. Непрерывность функции и её геометрический смысл.
16. Основные свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
17. Монотонные функции. Критерий непрерывности монотонной функции.
18. Обратная функция. Теорема об обратной функции.
19. Непрерывность основных элементарных функций.
20. Сложная функция. Теорема о непрерывности композиции.
21. Теорема о пределе композиции.
22. Замечательные логарифмический, показательный и степенной пределы.
23. Локальные свойства непрерывных функций.
24. Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса.
25. Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора.
26. Колебания функции. Теорема о представлении колебания функции.
27. Производная и дифференциал. Их геометрический и механический смысл.
28. Основные свойства дифференцирования.
29. Производные основных элементарных функций.
30. Односторонние и бесконечные производные.
31. Производная обратной функции.
32. Производная сложной функции.
33. Дифференцирование неявно-заданных и параметрических функций.
34. Инвариантность формы первого дифференциала.
35. Производные и дифференциалы произвольного порядка (в том числе и от основных элементарных функций).
36. Формула Лейбница.
37. Стационарные точки. Теорема Ферма.
38. Теорема Ролля.
39. Теорема Коши. Формула конечных приращений (Теорема Лагранжа).
40. Критерий постоянства дифференцируемой функции.
41. Критерий монотонности дифференцируемой функции.
42. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей вида [0/0] и [Ґ/Ґ].
43. Многочлен Тейлора и остаточный член формулы Тейлора для n раз дифференцируемых функций.
44. Теорема о представлении остаточного члена формулы Тейлора.
45. Формулы Тейлора-Лагранжа, Тейлора-Коши и Тейлора-Пеано.
46. Ряд Тейлора и его сходимость.
47. Разложение по Тейлору основных элементарных функций и функций, обратных к ним.
48. Формулы Эйлера.
49. Достаточное условие локального экстремума (3 правила).
50. Глобальный экстремум.
51. Выпуклые функции. Признаки выпуклости функции.
52. Точки распрямления и перегиба. Достаточное условие перегиба.
53. Схема построения эскиза графика функции.
54. Первообразная функции и дифференциального выражения. Теорема об общем виде первообразной.
55. Неопределённый интеграл и его свойства.
56. Вычисление неопределённого интеграла почленным интегрированием и интегрированием по частям.
57. Замена переменной в неопределённом интеграле.
58. Теорема об интегрировании простейших рациональных функций.
59. Разложение рациональной функции на простейшие и её интегрирование.
60. Интегрирование иррациональности от дробно-линейной функции.
61. Интегрирование биномиального дифференциала.
62. Подстановки Эйлера.
63. Интегрирование рационально-тригонометрических выражений.
64. Разбиения. Интегральные суммы и определённый интеграл.
65. Условия интегрируемости по Риману.
66. Основные свойства определённого интеграла.
67. М-лемма.
68. Теорема об интегрируемости функций, непрерывных на отрезке.
69. Первая теорема о среднем для определённого интеграла.
70. Вторая теорема о среднем для определённого интеграла.
71. Теорема Барроу и следствия из неё (формула Ньютона-Лейбница).
72. Теорема об интегрировании по частям в определённом интеграле.
73. Теорема о замене переменной в определённом интеграле.
74. Несобственный интеграл. Теорема о несобственной замене.
75. Вычисление длины дуги кривой с помощью определённого интеграла.
76. Вычисление площади варьируемых фигур.
77. Вычисление объемов кубируемых тел.
78. Вычисление статических моментов и координат центра масс.
79. Приближённое вычисление определённого интеграла.
80. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.

• Ю. С. Богданов. "Лекции по Математическому Анализу", часть 1-ая и 2-ая, Минск, БГУ, 1977.
• В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Л. Сендов. "Математический Анализ", части 1-ая и 2-ая. Москва, МГУ.
• Л. Д. Кудрявцев. "Математический Анализ", 1-ый и 2-ой том. Москва, МФТИ.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. "Основы Математического Анализа", части 1-ая и 2-ая.
• Г. М. Фихтенгольц. "Курс Дифференциального и Интегрального Исчисления", 2-ой том.
• Б. П. Демидович. "Сборник Задач и Упражнений по Математическому Анализу". Москва, Наука, 1977.
• Ю. С. Богданов, О. А. Кастрица "Начала Анализа в Задачах и Упражнениях".