| Главная | Предыд. | След. | Др. раздел |
Математический анализ.
Предисловие.
Дисциплина "Математический анализ" знакомит студентов с исследованиями функциональных зависимостей между переменными величинами с использованием предельного перехода, дифференциального и интегрального исчисления.
Математический анализ непосредственно связан с дисциплиной "Геометрия и Алгебра" и используется при изучении дисциплины "Дифференциальные уравнения".
При изложении курса важно выделить моменты построения математических моделей естественных процессов с целью их дальнейшего изучения методами математического анализа, а также обратить внимание на алгоритмические аспекты получаемых результатов.
Введение.Предмет математического анализа. Историческое развитие математического анализа, его место среди других математических наук в естествознании.
Функции одной действительной переменной.Функции нескольких действительных переменных.
- Действительные числа. Числовые множества. Счетные и несчетные множества. Точные границы числовых множеств, их существование.
- Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности, их свойства. Сходимость монотонных последовательностей. Принцип выбора Больцано-Вейерштрасса. Число "e". Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- Числовой ряд и его сходимость. Критерий сходимости числового ряда. Знакопостоянные ряды. Признаки сходимости для положительных рядов: сравнения, Даламбера, Коши, Дюамеля, Гаусса. Признаки Абеля и Дирихле.
- Обобщённое суммирование рядов. Бесконечные произведения.
- Приложение числовых последовательностей и рядов к приближённом вычислениям.
- Функции одной переменной. Предел функции в точке. Критерий Гейне. Критерий Коши сходимости функции. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.
- Непрерывность функции в точке. Непрерывность слева и справа. Классификация точек разрыва. Непрерывность монотонной функции. Непрерывность обратной функции и композиции функций. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. О-символика. Локальные свойства непрерывных функций. Функции, непрерывные на множестве. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора.
- Дифференцируемость функции в точке. Производная. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная композиции функций. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- Использование производной и дифференциала в приближённых вычислениях.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
- Стационарные точки функции. Теоремы Ферма, Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правила Лопиталя и Штольца раскрытия неопределённостей.
- Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано. Разложение основных элементарных функций по Тейлору. Формулы Эйлера.
- Монотонные дифференцируемые функции. Экстремумы. Необходимое условие экстремума. Исследование критических точек. Острый экстремум. Выпуклость функции. Построение эскиза графика функции.
- Итерационные алгоритмы приближённого вычисления корней уравнений. Метод половинного деления. Метод хорд. Метод касательных.
- Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица первообразных. Замена переменных в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям. Неберущиеся интегралы. Существование элементарных первообразных у рациональных функций. Метод рационализации.
- Определённый интеграл Римана. Критерий Коши интегрируемости функции. Интегрируемость непрерывной функции. Интегральное колебание. Критерий Дарбу. Основные свойства определённого интеграла. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Основные приемы вычисления определённого интеграла.
- Понятие о других способах построения интеграла. Определение сходимости несобственных интегралов первого и второго рода. Приложения интегралов.
- Длина дуги, площадь фигуры, объем тела. Использование определённого интеграла для их вычисления. Применение интеграла для решения задач механики, физики и др.
- Алгоритмы численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Оценки погрешностей.
Функциональные последовательности и ряды.
- Сходящиеся подпоследовательности в Rn. Принцип выбора. Критерий Коши сходимости последовательности в Rn.
- Функции нескольких переменных. Предел. Повторные пределы. Непрерывность. Непрерывность по одной из переменных. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность.
- Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Частные производные. Условия дифференцируемости. Дифференциал. Дифференцирование композиции функций нескольких переменных. Частные производные и дифференциал композиции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных функции нескольких переменных. Оператор дифференцирования. Формула Тейлора.
- Теорема о неявной функции.
- Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Исследования стационарных точек. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Глобальный экстремум.
- Понятие метрического и топологического пространства. Функции на метрических и топологических пространствах. Непрерывность. Дифференцируемость. Производное отображение. Матрица Якоби. Дифференциал. Дифференцирование композиции. Теорема о неявной векторной функции. Зависимость функций.
- Интеграл Римана функции нескольких переменных. Критерии Коши и Дарбу интегрируемости. Основные свойства интеграла. Классы интегрируемых функций. Замена переменных в n-кратном интеграле. Использование полярной системы координат. Сферические и цилиндрические координаты.
- Приложение n-кратных интегралов к решению геометрических, физических и др. задач.
- Кривые на плоскости и в пространстве. Векторное задание кривой.
- Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина. Основная теорема о криволинейных интегралах. Условия Эйлера. Вычисление криволинейных интегралов. Использование формулы Ньютона-Лейбница.
- Поверхности. Векторное задание поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Сторона поверхности. Понятие многообразия.
- Поверхностные интегралы первого и второго рода. Вычисление поверхностных интегралов. Формула Стокса. Формула Остроградского.
- Использование криволинейных и поверхностных интегралов при решении прикладных задач.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- Сходимость функциональных последовательностей. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Супремальный критерий.
- Функциональные ряды. Представление последовательностей рядами и наоборот. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.
- Изучение свойств функций, определяемых как сумма ряда. Предельный переход. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
- Степенные ряды. Множество сходимости. Радиус сходимости. Свойства суммы степенного ряда. Представление функции степенными рядами. Формула Тейлора.
- Основные степенные разложения и их приложения к приближённым вычислениям.
- Скалярное произведение функций. Ортогональные системы функций. Метрика в L2. Последовательности тригонометрических многочленов. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя.
- Принцип локализации. Теорема Римана-Лебега. Сходимость ряда Фурье в точке.
- Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость в среднем. Равенство Парсеваля. Полнота тригонометрической системы.
- Обобщённое равенство Парсеваля. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье.
- Разложение функций в ряды Фурье. Ряд Фурье четной и нечетной функции.
- Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.
Функции комплексного аргумента.
- Функции, определяемые как интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход. Непрерывность. Дифференцируемость. Правило Лейбница. Интегрирование.
- Критерии Коши сходимости несобственных интегралов первого и второго рода. Несобственные интегралы от положительных функций. Признаки сравнения. Степенной признак сходимости несобственных интегралов. Абсолютная сходимость. Главное значение несобственных интегралов.
- Функции, определяемые как несобственные интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход. Дифференцирование. Интегрирование.
- Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Их основные свойства.
- Комплексные числа. Последовательности комплексных чисел. Функции комплексного аргумента. Дробно-линейная функция. Показательная функция. Логарифм.
- Дифференцируемость функции комплексного аргумента. Вычисление интеграла и его свойства. Интегральная теорема Коши. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши. Использование формулы Коши для вычисления интеграла по замкнутому контуру.
- Ряды комплексных чисел. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства суммы комплексного степенного ряда.
- Регулярные функции. Связь между регулярностью и дифференцируемостью. Нули регулярной функции.
- Ряд Лорана. Изолированные особые точки регулярной функции. Поведение функции в окрестности особой точки.
- Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.
- Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа. Изображение основных элементарных функций. Отыскание оригинала по известному изображению. Использование операционного исчисления для решения дифференциальных и интегральных уравнений.
| Главная | Предыд. | След. | Др. раздел |