Лектор: , доц., кандидат физ.-мат. наук.

1-й курс, 2-й семестр 1998-1999 учебного года.
Примерный план контрольной работы

1. Предел Ф2П. Связь двойных и повторных пределов.
2. Непрерывность Ф2П. Локальные свойства непрерывных функций,
3. Прохождение непрерывной функции через промежуточные значения.
4. Достижение непрерывной на компакте функции своих экстремальных значений.
5. Дифференцируемые Ф2П. Необходимое условие дифференцируемости.
6. Дифференцируемость композиции. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
7. Формула конечных приращений для Ф2П.
8. Признак дифференцируемости Ф2П.
9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной явным уравнением. Геометрический смысл частных производных и дифференциала Ф2П.
10. Теорема о совпадении смешанных производных.
11. Вычисление n-го порядка. Неинвариантность формы дифференциала второго порядка.
12. Формула Тейлора Ф2П.
13. Теорема о непрерывном решении функционального уравнения F(x, y) = 0.
14. Теорема об однозначной разрешимости функционального уравнения F(x, y) = 0.
15. Определение 2И. Необходимое условие интегрируемости. Критерий Коши. Интегрируемость в смысле Римана.
16. Необходимое условие Дарбу интегрируемости Ф2П в смысле Римана.
17. Достаточное условие Дарбу интегрируемости Ф2П в смысле Римана.
18. Классы интегрируемых Ф2П.
19. Интегрируемость произведения. Обобщённые интегральные суммы.
20. Основные свойства 2И.
21. Лемма о сведении 2И по прямоугольнику к повторному интегралу.
22. Сведение 2И по выпуклой фигуре к повторным интегралам.
23. Диффеоморфизм. Геометрический смысл.
24. Замена переменных в 2И. Переход к полярным координатам.
25. Определение и основные свойства 3И.
26. Сведение 3И к повторным интегралам.
27. Переход в 3И к цилиндрическим и сферическим координатам.
28. Геометрические приложения 2И и 3И.
29. Механические приложения 2И и 3И.
30. Определение и основные свойства ФНП.
31. Векторные функции. Основные понятия и свойства.
32. Дифференцируемость векторных функций. Связь с дифференцируемостью координатных функций.
33. Представление производного отображения векторной функции.
34. Разрешимость системы функциональных уравнений.
35. Зависимость и независимость системы функций.
36. Необходимые условия локального экстремума ФНП.
37. Достаточные условия локального экстремума ФНП.
38. Условный экстремум. Сведение к безусловному.
39. Условный экстремум. Метод дифференциалов.
40. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа (необходимые условия).
41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа (достаточные условия).
42. Экстремум квадратичной формы. Экстремум определителя.
43. Производная по направлению и градиент.
44. Достаточные условия выпуклости ФНП.
45. Локальный минимум строго выпуклой функции.
46. Дифференцирование векторных функций одной переменной. Основные правила и свойства.
47. Гладкие кривые. Различные способы задания. Уравнение касательной прямой.
48. Огибающая однопараметрического семейства плоских кривых.
49. Сопутствующий трёхгранник кривой. Формулы Френе.
50. Кривизна и качение.
51. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
52. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление длин кривых и углов между кривыми на поверхности.
53. Площадь поверхности.
54. КРИ-1. Определение, свойства и механические приложения.
55. Сведение КРИ-1 к определённому интегралу.
56. КРИ-2. Определение, свойства и сведение к определённому интегралу.
57. КРИ-2 как предел интегральных сумм. Механический смысл КРИ-2.
58. Связь между КРИ-2 по кривой и вписанной в неё ломаной.
59. Формула Грина.
60. Независимость КРИ-2 от пути интегрирования.
61. Построение первообразной дифференциального выражения.
62. Определение ПОВИ-1. Сведение к двойному интегралу. Применение в механике.
63. ПОВИ-2. Определение и сведение к двойному интегралу.
64. ПОВИ-2 как предел интегральных сумм.
65. Физический смысл ПОВИ-2.
66. Формула Остроградского.
67. Формула Стокса.
68. Скалярное поле и его характеристики.
69. Потенциальные и соленоидальные поля.
70. Поток и дивергенция векторного поля.
71. Циркуляция и ротор векторного поля.
72. Площадь в криволинейных координатах.

Сокращения:
• Ф2П - функция двух переменных;
• ФНП - функция нескольких переменных;
• 2И - двойной интеграл;
• 3И - тройной интеграл;
• КРИ-1(2) - криволинейный интеграл первого (второго) рода;
• ПОВИ-1(2) - поверхностый интеграл первого (второго) рода.