Лектор: , доц., кандидат физ.-мат. наук.

1-й курс, 2-й семестр 1998-1999 учебного года.

1. Векторное пространство. Определение и примеры. Линейные комбинации. Линейные оболочки системы векторов. Отношение эквивалентности и линейной выражаемости системы векторов.
2. Отношение линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и независимых систем. Умножение системы на матрицу и его свойства.
3. Лемма о линейно независимой системе. Базис и размерность векторного пространства. Теорема о базисе. Дополнение линейно независимой системы до базиса. Координаты вектора в базисе.
4. Подпространство векторного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. Критерий прямой суммы. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Дополнение линейно независимой системы до базиса.
5. Ранг системы векторов. Базис системы векторов и её максимальная линейно независимая подсистема. Элементарные преобразования систем векторов. Методы нахождения базиса системы векторов.
6. Теорема о ранге матрицы и следствия из неё.
7. Изоморфизмы векторных пространств и их свойства. Изоморфизмы конечномерных векторных пространств.
8. Матрица перехода от базиса к системе векторов. Изоморфизм векторного пространства систем векторов на пространство матриц. Ранг системы векторов и ранг матрицы перехода. Свойства матриц перехода от базиса к базису. Связь между координатами вектора в разных базисах.
9. Линейные отображения. Свойства. Векторное пространство линейных отображений. Суперпозиция линейных отображений. Кольцо линейных преобразований векторного пространства.
10. Фактор-пространство векторного пространства по подпространству. Размерность фактор пространства.
11. Подпространство как ядро некоторого линейного отображения. Теоремы о гомоморфизме. Размерность суммы и пересечения подпространств. Размерность ядра и размерность образа линейного отображения.
12. Матрица линейного отображения. Изоморфизм пространства линейных отображений и пространства матриц. Изоморфизм кольца линейных преобразований на кольцо квадратных матриц.
13. Невырожденный линейный оператор и его матрица. Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах (парах базисов). Подобные матрицы и свойства подобных матриц.
14. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейная независимость системы собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Число собственных значений линейного оператора. Характеристическая матрица, характеристический многочлен матрицы и линейного оператора. Характеристические числа и собственные значения линейного оператора. Геометрическая и алгебраическая кратность собственных значений.
15. l-матрицы м матричные многочлены. Теорема Гамильтона-Кели.
16. Инвариантные подпространства. Сумма, и пересечение инвариантных подпространств. Кольцо линейных операторов, относительно которых подпространства из данного множества подпространств инвариантны. Инвариантность ядра и образа многочлена от данного линейного оператора.
17. Матрица линейного оператора, относительно которого данное подпространство инвариантно. Инвариантное подпространство между образом и ядром многочленов от линейного оператора, произведение которых равно характеристическому многочлену.
18. Одномерные, двумерные инвариантные подпространства, а также размерности n-1. Соответствие между инвариантными подпространствами данного линейного оператора и оператора с транспонированной матрицей. Примерное разложение векторного пространства.
19. l-матрицы. Элементарные преобразования l-матриц. Каноническая l-матрица. Система инвариантных множителей. СНОД миноров и соответствующий критерий эквивалентности. СЭД l-матрицы и соответствующий критерий эквивалентности. СЭД диагональной l-матрицы.
20. Унимодулярные матрицы. Группа унимодулярных матриц. Система наибольших общих делителей, инвариантных множителей, элементарных делителей унимодулярной матрицы. Унимодулярная матрица как произведение элементарных матриц. Критерий эквивалентности l-матриц с использованием унимодулярных матриц.
21. Критерий подобия матриц над полем.
22. Сопровождающая матрица многочлена. Нормальные формы Фробениуса. Общая каноническая форма. Нормальная форма Жордана.
23. Симметрическая билинейная форма и её матрица. Эрмитова матрица. Свойства.
24. Квадратичная форма и её матрица. Матричное представление квадратичной формы. Эквивалентные квадратичные формы. Каноническая квадратичная форма. Способы приведения квадратичной формы к канонической с помощью невырожденного преобразования переменных. Ранг квадратичной формы.
25. Нормальная комплексная квадратичная форма. Нормальная вещественная квадратичная форма. Закон инерции вещественных квадратичных форм.
26. Положительно и отрицательно определённые и полуопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
27. Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Длина вектора. Свойства. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.
28. Матрица Грамма системы векторов. Ранг матрицы Грамма. Ортогональные и ортонормированные системы и их линейная независимость. Матрица скалярного произведения. Формула вычисления скалярного произведения с помощью матрицы скалярного произведения. Формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.
29. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Дополнение ортонормированной системы до ортонормированного базиса.
30. Ортогональные и унитарные матрицы. Система строк (столбцов) ортогональной (унитарной) матрицы как ортонормированный базис. Ортогональная и унитарная группа. Ортогональная (унитарная) матрица как матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному.
31. Изометрические операторы. Матрица изометрического оператора. Образ ортонормированного базиса при изометрическом преобразовании. Собственные значения изометрического оператора.
32. Самосопряжённые операторы. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряжённого оператора. Симметрическая (эрмитова) матрица и её ортогональное (унитарное) подобие диагональной матрице.
33. Действие группы на множестве. Ядро представления. Примеры. Стабилизатор точки. Орбиты элементов. Транзитивная пара. Изоморфизм стабилизаторов транзитивного действия группы на множестве.
34. Изоморфизм транзитивной пары действию группы на фактор-множестве по подгруппе. Формула для числа элементов орбиты. Ядро представления транзитивной группы как пересечение стабилизаторов точек. Критерий эффективности действия группы на множестве. Регулярность и эффективность действия абелевой группы на множестве.
35. Аффинные пространства. Реперы. Примеры.
36. Уравнение квадрики в аффинном пространстве. Преобразование уравнения квадрики при переходе к новому реперу. Канонические уравнения квадрики. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду при помощи перехода к новому ортонормированному реперу.
37. Определение вида поверхности 2-го порядка при помощи элементарных преобразований матрицы уравнения поверхности.
38. Аффинные инварианты поверхности 2-го порядка.