Лектор: Дайняк Виктор Владимирович, кандидат физ.-мат. наук.

3-й курс, 5-й семестр 2000-2001 учебного года.
Методички
Вопросы за 2000-2001 учебный год.

1. Кольцо, полукольцо, алгебра. Структура кольца, порожденного полукольцом.
2. Мера как функция, её s-аддитивность, свойства меры на кольце.
3. Продолжение меры с полукольца на кольцо.
4. Внешняя мера и её свойства.
5. Измеримые по Лебегу множества. Критерий измеримости.
6. s-аддитивность меры Лебега, s-алгебра измеримых множеств.
7. Продолжение s-конечной меры. Измеримые множества на числовой прямой.
8. Мера Лебега-Стилтьеса её s-аддитивность.
9. Абсолютно непрерывные меры, абсолютно непрерывные функции.
10. Измеримые функции и алгебраические операции над ними.
11. Сходимость на множестве измеримых функций. Сходимость почти всюду.
12. Равномерная сходимость. Теорема Егорова.
13. Интеграл Лебега от простых функций и его свойства.
14. Интеграл Лебега на множестве конечной меры и его свойства.
15. Абсолютная непрерывность и s-аддитивность интеграла Лебега.
16. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
17. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
18. Функции с ограниченным изменением. Теорема Родона-Никодима.
19. Интеграл Лебега-Стилтьеса.
20. Нормированные векторные пространства. Примеры. Свойства нормы.
21. Неравенства Гельдера, Юнга, Минковского. Пространство CL_p[a,b], l₂
22. Геометрия и топология нормированных векторных пространств.
23. Внутренние, внешние, граничные и предельные точки. Примеры. Теорема о замкнутом множестве.
24. Предел последовательности в нормированном пространстве. Теорема о точке прикосновения.
25. Отображения в нормированных пространствах. Теорема о непрерывном отображении, непрерывность композиции отображений.
26. Эквивалентные нормы. Теорема об эквивалентных нормах в конечномерных пространствах.
27. Наилучшая аппроксимация в нормированных пространствах. Теоремы о её существовании и единственности.
28. Банаховы пространста. Примеры. Принцип вложенных шаров.
29. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Примеры. Теорема Бэра о категориях.
30. Ряды в банаховых пространствах. Критерий полноты пространства.
31. Принцип сжимающих отображений к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
32. Принцип сжимающих отображений к интегральным уравнениям Вольтера второго рода.
33. Предгильбертовы пространства. Свойства скалярного произведения. Примеры.
34. Теорема о пополнении.
35. Гильбертовы пространства. Примеры. Теорема о наилучшей аппроксимации.
36. Проекция в гильбертовом пространстве. Теорема о проекции. Ортогональное дополнение.
37. Разложение гильбертова пространства в прямую сумму. Теорема о плотном множестве.
38. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах. Теорема о разложении в ряд Фурье. Экстремальное свойство отрезка ряда Фурье.
39. Теорема о полной ортонормированной системе в гильбертовом пространстве. Примеры полных ортонормированных систем в конкретных пространствах.
40. Пространство L_p[a,b], p>=1, его полнота, всюду плотные множества в нем.
41. Пространство Соболева H₁[a,b], его полнота, всюду плотные множества в нем.
42. Компактные множества в нормированных пространствах. Критерий компактности Хаусдорфа.
43. Непрерывные отображения на компакте.
44. Относительно компактные множества. Теорема Арцела Осколи.
45. Лемма о почти перпендикуляре. Критерий конечномерности.
46. Линейные ограниченные операторы. Ограниченность интегрального оператора.
47. Интегральный оператор со слабо полярным ядром. Ограниченность и непрерывность.
48. Пространства линейных ограниченных операторов. Равномерная сходимость. Примеры.
49. Сильная сходимость в пространстве L(X,Y). Принцип равномерной ограниченности.
50. Теорема Банаха-Штейнгауза.
51. Обратные операторы. Левый и правый обратный операторы и разрешимость уравнения Ax=y.
52. Непрерывная обратимость оператора и её критерий.
53. Теорема Банаха об обратном операторе.
54. Непрерывная обратимость оператора I-A, A-B.
55. Замкнутые операторы. Примеры. Теорема Банаха о замкнутом операторе.
56. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного ограниченного функционала.
57. Следствия из теоремы Хана-Банаха.
58. Сопряжённое пространство. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.
59. Сопряжённое пространство. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве непрерывных функций.
60. Сопряжённый оператор и его применение.
61. Самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве и его норма. Оператор проектирования.
62. Пространство вполне непрерывных операторов.
63. Теория Рисса-Шаудера. Замкнутость множеств R(I-A), R(I-A*).
64. Первая теорема Фредгольма.
65. Вторая теорема Фредгольма.
66. Третья теорема Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.
67. Собственные значения и собственные векторы линейного вполне непрерывного самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве.
68. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении линейного вполне непрерывного самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве.