Лектор: Дайняк Виктор Владимирович, кандидат физ.-мат. наук.

3-й курс, 5-й семестр 2000-2001 учебного года.
Методички

1. Основные понятия теории множеств.
2. Кольца и алгебры множеств. Полукольца.
3. Понятие меры множества. Простейшие свойства меры.
4. Внешняя мера.
5. Измеримые по Лебегу множества. Критерий измеримости.
6. Измеримые по Лебегу множества и их свойства.
7. Некоторые сведения о неубывающей функции.
8. Функция скачков и непрерывная часть неубывающей функции.
9. Построение меры по неубывающей функции. Мера Лебега-Стилтьеса.
10. Измеримые функции и их свойства.
11. Измеримые функции. Теорема Егорова.
12. Определение и основные свойства интеграла Лебега.
13. Определение интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла.
14. Определение интеграла Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
15. Определение интеграла Лебега. Теорема Лебега.
16. Определение интеграла Лебега. Теорема Фату.
17. Сравнение интеграла Лебега и интеграла Римана.
18. Линейные пространства.
19. НВП. Неравенство Юнга.
20. НВП. Неравенство Гёльдера.
21. НВП. Неравенство Миньковского.
22. Геометрия и топология НВП.
23. Предел последовательности в НВП и их непрерывные отображения.
24. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах.
25. Аппроксимация НВП.
26. Банаховы пространства. Принцип вложенных шаров.
27. Банаховы пространства. Теорема Бэра-Хаусдорфа.
28. Ряды в нормированных и Банаховых пространствах.
29. Принцип сжимающих отображений.
30. Принцип сжимающих отображений. Локальный принцип сжимающих отображений.
31. Принцип сжимающих отображений. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода.
32. Принцип сжимающих отображений. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром.
33. Принцип сжимающих отображений. Интегральные уравнения Вольтера второго рода.
34. Пополнение линейных нормированных пространств.
35. Предгильбертовы пространства.
36. Гильбертовы пространства. Теорема о пополнении. Теорема об аппроксимации.
37. Гильбертовы пространства. Теорема о проекции. Теорема об ортогональном дополнении. Теорема о плотном множестве.
38. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
39. Пространство Лебега L[a,b]. Определение и основные свойства.
40. Пространство Лебега L2. Определение и основные свойства.
41. Пространство Лебега L2. Сходимость в среднем квадратичном, её связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей.
42. Компактные множества в НВП.
43. Относительная компактность множества в НВП.
44. Линейные ограниченные операторы.
45. Пространство линейных операторов.
46. Принцип равномерной ограниченности.
47. Обратные операторы.
48. Замкнутые операторы.
49. Теорема Хана-Банаха и её следствия.
50. Сопряжённые пространства.
51. Сопряжённые операторы.
52. Вполне непрерывные операторы.
53. Теория Риса-Шаудера. Теорема о замкнутости множества значений оператора I-A, I-A^*.
54. Теория Риса-Шаудера. 1-ая теорема Фредгольма.
55. Теория Риса-Шаудера. 2-ая теорема Фредгольма.
56. Теория Риса-Шаудера. 3-ая теорема Фредгольма.