Численные методы.

Предисловие.

Дисциплина "Численные методы" ставит своей целью подготовку студентов к разработке и применению с помощью ЭВМ вычислительных алгоритмов решения математических задач, возникающих в процессе познания и использования в практической деятельности законов реального мира, посредством математического моделирования.

Дисциплина "Численные методы" непосредственно связана с дисциплинами "математический анализ", "Геометрия и алгебра", "Дифференциальные уравнения", "Уравнения математической физики". Она является базой для дисциплин "Практикум на ЭВМ", "Пакеты прикладных программ" и многих дисциплин специализаций.

Введение.

Численные методы как важный раздел современной математики. Роль численных методов в возникновении вычислительной математики. Математические модели, анализ их адекватности. Понятие устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов.

Численные методы алгебры.

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Обращение матриц. Итерационные методы. Вариационные методы. Численное решение задач на собственные значения. Решение нелинейных уравнений и систем. Методы простой итерации, Ньютона и его разновидности. Сходимость. Метод градиентного спуска.

Приближение функций.

Постановка задачи интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Минимизация остатка интерполирования. Сплайн-интерполирование. Дробно-рациональные приближения. Среднеквадратичные приближения. Метод наименьших квадратов.

Численное интегрирование.

Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.

Численное решение интегральных уравнений.

Метод механических квадратур решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтера второго рода. Метод последовательных приближений. Метод замены ядра на вырожденное.

Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши. Устойчивость. Сходимость. Интегрирование жестких систем. Методы решения краевых задач.

Численные методы решения задач математической физики.

Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Постановка разностной задачи. Сходимость и устойчивость разностных схем. Математический аппарат теории разностных схем.

Разностные схемы для уравнения теплопроводности, переноса, колебания струны. Устойчивость и методы реализации.

Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона и методы реализации.

Методы решения сеточных уравнений.

Экономичные разностные схемы для многомерного уравнения теплопроводности.

Нелинейное уравнение теплопроводности и разностные схемы его решения.

Метод конечных элементов. Вариационно-разностные схемы. Метод характеристик для гиперболических систем уравнений первого порядка.

Основная:
• Бахвалов Н. С. Численные методы: Учебное пособие. Москва, Наука, 1975.
• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Учебное пособие. Москва, Наука, 1987.
• Калиткин Н. Н. Численные методы: Учебное пособие. Москва, Наука, 1978.
• Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы: Учебное пособие, 1-ый и 2-ой том. Москва, Наука, 1976, 1977.
• Марчук Г. И. Методы вычислительной математики: Учебное пособие. Москва, Наука, 1980.
• Самарский А. А. Введение в численные методы: Учебное пособие. Москва, Наука, 1982.
• Самарский А. А. Теория разностных схем: Учебное пособие. Москва, Наука, 1983.
• Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учебное пособие. Москва, Наука, 1989.
• Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач: Учебное пособие. Москва, Наука, 1986.
  Дополнительная:
• Воеводин В. В. Вычислительные методы линейной алгебры. Москва,1977.
• Мак-Крален Д., Дори У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ. Москва, 1977.
• Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы высшей математики. Том 1-2. Минск, Высшая Школа, 1972, 1975.