Лектор: Самусенко Анатолий Васильевич, доц., кандидат физ.-мат. наук.

3-й курс, 5-й семестр 1998-1999 учебного года.

1. Общая постановка задачи интерполирования.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
3. Теорема о погрешности интерполяционной функции Лагранжа.
4. Многочлены Чебышева на отрезке [-1;1], теорема о существовании многочлена наименее отклоняющегося от нуля.
5. Многочлены Чебышева на произвольном отрезке, минимизация погрешности интерполирования.
6. Разделенные разности и их свойства.
7. Конечные разности и их свойства.
8. Интерполяционный многочлен Ньютона. Теорема о совпадении интерполяционных многочленов Ньютона и Лагранжа.
9. Формулы для интерполирования алгебраическими многочленами по равноотстоящим узлам.
10. Алгоритм построения кубического сплайна.
11. Сходимость процессов интерполирования кубическими сплайнами, доказательство леммы и получение оценки погрешности второй производной.
12. Сходимость в процессе интерполирования кубическими сплайнами, получение оценки погрешности функции и ее первой производной.
13. Интерполирование с кратными узлами. Теорема о погрешности интерполирования.
14. Тригонометрическая интерполяция, интерполирование с помощью рациональных функций, дробно-линейное и двумерное интерполирование.
15. Наилучшее приближение в Гильбертовом пространстве, теорема о существовании наилучшего приближения в Гильбертовом пространстве.
16. Погрешность наилучшего приближения в Гильбертовом пространстве, обобщенный многочлен Фурье.
17. Наилучшее средне-квадратичное приближение функции, заданной таблично
18. Теорема о наилучшем равномерном приближении. Критерий многочлена наилучшего равномерного приближения.
19. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Оценка погрешности квадратурной формулы.
20. Критерий квадратурной формулы интерполяционного типа.
21. Симметричные квадратурные формулы интерполяционного типа.
22. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Устойчивость квадратурных формул Ньютона-Котеса.
23. Составные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
24. Правило Рунге оценки погрешности квадратурной формулы.
25. Квадратурные формулы НАСТ. Критерий квадратурной формулы НАСТ.
26. Существование и единственность квадратурных формул НАСТ.
27. Свойства квадратурных формул НАСТ.
28. Частный случай квадратурных формул НАСТ.
29. Квадратурные формулы НАСТ, имеющие заранее фиксированные узлы.
30. Квадратурные формулы НАСТ с равными коэффициентами.
31. Отделение корней нелинейного уравнения. Метод половинного деления.
32. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения. Теорема сходимости.
33. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения. Теорема сходимости.
34. Модификации метода Ньютона решения нелинейного уравнения.
35. Метод парабол решения нелинейного уравнения.
36. Метод обратной интерполяции решения нелинейного уравнения.
37. Общая характеристика методов решения систем нелинейных уравнений. Примеры методов.
38. Нелинейные и гибридные методы решения систем нелинейных уравнений.
39. Сходимость стационарных итерационных методов решения систем нелинейных уравнений. Принцип сжимающих отображений.
40. Метод механических квадратур в решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
41. Метод механических квадратур в решении интегральных уравнений Вальтерра второго рода.
42. Метод последовательных приближений решения линейных интегральных уравнений второго рода.
43. Метод замены ядра на вынужденное решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
44. Аналитические методы решения задачи Коши.
45. Численные методы решения задачи Коши. Понятие об сходимости и аппроксимации.
46. Теорема о сходимости метода Эйлера.
47. Методы "предиктор-корректор". Аппроксимация и геометрическая интерпретация.
48. Методы Рунге-Кутта. Построение семейства методов второго порядка аппроксимации.
49. Теорема о сходимости методов Рунге-Кутта.
50. Многошаговые методы. Построение методов наивысшего порядка аппроксимации.
51. Методы Адамса, их построение и реализация.
52. Метод Рунге повышения порядка точности разностных схем.
53. Понятие устойчивости разностных методов. Примеры.
54. Устойчивость многошаговых разностных методов. Примеры - явный и неявный методы Адамса.
55. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений.
56. Специальное определение устойчивости.
57. Чисто неявные методы.
58. Постановка краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
59. Метод редукции.
60. Метод дифференциальной прогонки.
61. Метод стрельбы для нелинейных краевых задач.
62. Метод стрельбы для линейных краевых задач.
63. Метод Ритца.
64. Метод наименьших квадратов решения краевых задач.
65. Методы моментов и Галеркина.
66. Метод каллокации.