Лектор: Ширяев Владимир Михайлович, доц., кандидат физ.-мат. наук.

2-й курс, 3-й семестр 1999-2000 учебного года.
Краткое описание курса.

1. Кольцо и поле. Область целостности. Отношение делимости и ассоциативности. Группа обратимых элементов. Идеалы. Сумма и пересечение идеалов. Связь между отношением делимости, включением множеств делителей и включением главных идеалов области целостности.
2. Идеалы кольца целых чисел. Деление с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в кольце целых чисел. Свойства.
3. Взаимно простые числа. Критерий взаимной простоты. Свойства взаимно простых чисел. Алгоритм Евклида. Свойства наименьшего общего кратного.
4. Неразложимые и простые элементы в кольце целых чисел. Разложение числа в произведение элементарных делителей.
5. Разложение группы на левые и правые смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальный делитель. Факторгруппа по подгруппе.
6. Сравнения по идеалу кольца. Факторкольцо по идеалу.
7. Сравнения целых чисел по данному модулю. Свойства сравнений.
8. Приведённая группа вычетов по данному модулю. Порядок этой группы и функция Эйлера. Теорема Эйлера и теорема Ферма.
9. Решение сравнений первой степени.
10. Евклидово кольцо. Значения евклидовой нормы на классах ассоциированных элементов. Евклидово кольцо как область главных идеалов.
11. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в ОГИ. Свойства. Взаимно простые элементы и их свойства. Критерий взаимной простоты. Алгоритм Евклида в евклидовых кольцах.
12. Неразложимые и простые элементы в ОГИ. Факторкольцо по идеалу, порождённому неразложимым или простым элементом.
13. Факториальность евклидова кольца. Каноническое разложение элемента. Примеры.
14. Гомоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма. Идеал как ядро гомоморфизма. Изоморфные кольца.
15. Образ гомоморфизма и факторкольцо исходного кольца по ядру гомоморфизма. Соответствие между идеалами факторкольца и идеалами исходного кольца.
16. I₁+I₂/I₂»I₁/I₁I₂, K/I_1/I₂/I₁ »K/I₂.
17. Конечная область целостности. Идеалы поля. Факторкольцо по максимальному идеалу. Кольцо вычетов по простому модулю. Факторкольцо кольца многочленов над полем по идеалу, порождённому неприводимым многочленом.
18. Прямые произведения колец и прямые суммы идеалов.
19. Нильпотенты и идемпотенты в кольцах. Примарные кольца и их идемпотенты. Критерий примарности конечного кольца.
20. Критерий примарности факторкольца евклидова кольца, в частности, кольца вычетов и факторкольца кольца многочленов.
21. Наибольший собственный идеал в примарном конечном кольце и его нильпотентность.
22. Наибольший собственный идеал в примарном факторкольце евклидова кольца и его нильпотентность, j(p^k)=?
23. Разложение конечного кольца в прямую сумму идеалов, являющихся примарными кольцами.
24. Примарное разложение факторкольца евклидова кольца. Китайская теорема об остатках. Формула для вычисления функции Эйлера.
25. Решение систем сравнений первой степени.
26. Циклические группы. Подгруппы и факторгруппы циклических групп. Порядок произведения элементов взаимно простых порядков.
27. Существование первообразного элемента по простому модулю.
28. Нахождение первообразного элемента по нечетному примарному модулю и по модулю 2p^a.
29. Разложение группы G(Z₂a) в прямую сумму двух циклических подгрупп.
30. Первообразные элементы приведённых групп вычетов.
31. Решение сравнений больших степеней и показательных сравнений.
32. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма как нормальный делитель. Образ гомоморфизма и факторгруппа по ядру гомоморфизма.
33. Прямые произведения групп и прямые суммы подгрупп абелевой группы. Неразложимость примарной циклической группы. Разложение приведённой группы вычетов в прямую сумму примарных циклических подгрупп.
34. Модулярная группа и её порядок. Подгруппа параллельных переносов как нормальный делитель. Стабилизатор нуля. Факторгруппа по подгруппе параллельных переносов.
35. Действие группы на множестве. Задачи криптологии. RSA криптосистемы.
36. Пороговая схема. Распределение ключей по Диффи-Хелмену.
37. Модулярные шифры, шифры Виженера, Хилла, Плейфера, Вернама...
38. Представление конечнопорождённой абелевой группы в виде факторгруппы Z^k. Подгруппы группы Z^k. Элементарные преобразования матрицы соотношений.
39. Разложение конечнопорождённой абелевой группы в прямую сумму примарных циклических или бесконечных циклических групп.
40. Решение систем уравнений над евклидовым кольцом. Система наибольших общих делителей миноров матрицы над евклидовым кольцом. Критерий совместности системы линейных уравнений над евклидовым кольцом.
41. Метод Серпинского решения систем уравнений над евклидовым кольцом.
42. Метод элементарных преобразований решения систем уравнений над евклидовым кольцом.
43. Задачи кодирования информации с целью защиты. Двоичные групповые коды. Формулы вероятности декодирования с k ошибками. Код проверки четности. Код тройного повторения.
44. Вес Хемминга, расстояние Хемминга. Кодовые слова. Кодовое расстояние группового кода. Условие обнаружения и исправления ошибок в k позициях.
45. Матричные коды. Кодирующая матрица, проверочная матрица, синдромы, лидеры смежных классов. Вероятность правильного исправления ошибок, вероятность необнаружения ошибок.
46. Совершенные коды. Коды Хемминга.

• Биркгоф Г., Барти Р. "Современная Прикладная Алгебра". Москва, Мир, 1976.
• Лидл Р. Нидеррайтер В. "Конечные Поля". Москва, 1989.
• Виноградов И. М. "Основы Теории Чисел". Москва, Наука, 1981.
• Lidl R. Applied Abstract Algebra, 1985.
• Salomaa A. Public Key Cryptography, 1995.
• Блейгеут Р. "Теория и Практика Кодов". Москва, Мир, 1996.