Лектор: Булатов Владимир Иванович, доц., кандидат физ.-мат. наук.

1-й курс, 2-й семестр 1998-1999 учебного года.
Краткое описание курса.

1. Евклидово пространство Rⁿ. Неравенство Коши-Буняковского.
2. Нормированное пространство Rⁿ. Метрика в Rⁿ.
3. Топология в Rⁿ.
4. Точечные последовательности в Rⁿ и их сходимость.
5. ФНП и их сходимость. Бесконечные пределы ФНП.
6. Критерий Гейне сходимости ФНП. Основные свойства сходящихся ФНП.
7. Непрерывные ФНП. Теорема о непрерывности композиции ФНП.
8. Локальные и глобальные свойства непрерывных ФНП.
9. Теорема Вейерштрасса для ФНП.
10. Теорема Кантора для ФНП.
11. Частные производные и дифференциалы ФНП.
12. Достаточное условие дифференцируемости ФНП.
13. Теорема о дифференцировании композиции ФНП.
14. Инвариантность формы 1-го дифференциала ФНП. Следствия (теорема Эйлера об однородных функциях).
15. Градиент и производная по направлению ФНП.
16. Производные и дифференциалы высших порядков ФНП. Теорема о равенстве соответствующих смешанных производных 2-го порядка.
17. Формула Тейлора для ФНП.
18. Неявные ФНП. Теорема о неявной функции.
19. Системы функциональных уравнений и якобиан.
20. Теорема об однозначной разрешимости системы функциональных уравнений.
21. Линейная зависимость и независимость системы функций. Признак функциональной независимости.
22. Квадратичные формы и их свойства. Лемма о положительно-определённых квадратичных формах.
23. Локальный экстремум ФНП. Необходимое условие.
24. Достаточное условие локального экстремума ФНП.
25. Условный экстремум ФНП. Метод дифференциалов.
26. Метод множителей Лагранжа.
27. Глобальный экстремум ФНП.
28. Векторные функции скалярного аргумента. Гладкие кривые в Rⁿ.
29. Леммы 1, 2 о дифференцируемости векторных функций.
30. Натуральный параметр и натуральное представление кривых.
31. Сопутствующий трёхгранник кривой.
32. Формулы Френе.
33. Кривизна, кручение и их вычисление.
34. Огибающая однопараметрического семейства гладких кривых. Дискриминантная линия и необходимое условие существования.
35. Квадрируемые плоские фигуры, их разбиения и 2И. Условие Дарбу интегрируемости по Риману Ф2П.
36. Теорема об интегрируемости непрерывной Ф2П.
37. Основные свойства 2И.
38. Вычисление 2И по прямоугольнику.
39. Вычисление 2И по криволинейной трапеции.
40. Формула замены переменных в 2И. Смысл модуля якобиана диффиоморфного отображения Ф2П.
41. Приложения 2И.
42. Интегрирование Ф3П. 3И и его основные свойства.
43. Вычисление 3И. Замена переменных в 3И.
44. Приложения 3И.
45. КРИ-1 и его смысл.
46. Вычисление КРИ-1.
47. Основные свойства КРИ-1.
48. КРИ-2 на плоскости и в пространстве, его смысл.
49. Теорема о вычислении КРИ-2.
50. Связь КРИ-1 и КРИ-2. Основные свойства КРИ-2.
51. Формула Грина.
52. Условие независимости КРИ-2 от пути интегрирования на плоскости.
53. Первообразная дифференциального выражения.
54. Площадь в криволинейных координатах.
55. Обоснование замены переменных в 2И.
56. Двусторонние поверхности.
57. 1-я квадратичная форма поверхности и её приложения.
58. ПОВИ-1 и его вычисление.
59. Приложение ПОВИ-1.
60. ПОВИ-2 и его вычисление.
61. ПОВИ-2 как предел интегральных сумм. Механический смысл ПОВИ-2.
62. Формула Стокса.
63. Условие независимости пространственного КРИ-2 от пути интегрирования.
64. Формула Остроградского.
65. Вычисление объема через ПОВИ.
66. Выражение объемов в криволинейных координатах.
67. Геометрический смысл модуля якобиана диффиоморфного отображения Ф3П.
68. Обоснование замены переменных в 3И.
69. Скалярное и векторное поле. Потенциальные поля.
70. Поток и дивергенция. Соленоидальные поля.
71. Циркуляция и ротор. Поле роторов.

Сокращения:
• Ф2П - функция двух переменных;
• ФНП - функция нескольких переменных;
• 2И - двойной интеграл;
• 3И - тройной интеграл;
• КРИ-1(2) - криволинейный интеграл первого (второго) рода;
• ПОВИ-1(2) - поверхностый интеграл первого (второго) рода.