Лектор: , доц., кандидат физ.-мат. наук.

1-й курс, 1-й семестр 1998-1999 учебного года.

1. Направленные отрезки, направление на прямой. Величина направленного отрезка и её свойства.
2. Декартова система координат на прямой. Выражение величины направленного отрезка и расстояния между точками через координаты. Деление отрезка в данном отношении.
3. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Формула расстояния между точками. Деление отрезка в данном отношении.
4. Полярная система координат на плоскости.
5. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Формула расстояния. Деление отрезка в данном отношении.
6. Вектор. Свойства линейных операций над векторами. Линейные комбинации и линейные оболочки. Линейно зависимые и независимые системы векторов и их свойства. Геометрическая интерпретация линейной зависимости.
7. Проекция вектора на ось и на вектор. Свойства проекции. Скалярное произведение векторов. Свойства и формула вычисления по координатам.
8. Базис на прямой, плоскости и в пространстве. Координаты вектора и их свойства. Репер и соответствующая декартова система координат.
9. Связь между координатами точки, координатами её радиуса-вектора и проекциями его на координатные оси в декартовой прямоугольной системе координат. Направление косинуса вектора и орт-вектора.
10. Ориентация троек векторов. Векторное произведение. Лемма о векторном произведении.
11. Свойства векторного произведения. Формула для вычисления векторного произведения по координатам.
12. Смешанное произведение векторов.
13. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение и умножение и их свойства. Сопряжённые числа.
14. Модуль комплексного числа. Свойства. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической и экспоненциальной формах. Формула Муавра.
15. Операция извлечения корней из комплексных чисел. Корни из 1.
16. Общее уравнение прямой на плоскостью Геометрический смысл равенства нулю коэффициентов. Уравнение прямой в отрезках.
17. Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
18. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
19. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Пучок прямых на плоскости.
20. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой.
21. Общее уравнение плоскости в пространстве. Геометрический смысл равенства нулю коэффициентов. Уравнение плоскости в отрезках.
22. Параметрическое уравнение плоскости. Переход к общему уравнению и обратно.
23. Взаимное расположение двух плоскостей. Пучок плоскостей.
24. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости.
25. Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве.
26. Общее уравнение прямой в пространстве. Переход к параметрическому и обратно.
27. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
28. Отношения, соответствия. Отношение порядка, эквивалентности. Разбиение множества. Трансверсал отношения эквивалентности. Фактор-множество. Отношение квазипорядка и его ядро. Индуцированное отношение на фактор-множестве по ядру.
29. Отображения, преобразования, операции. Сюрьективные, биективные и иньективные отображения. Суперпозиция отображений и её ассоциативность.
30. Алгебраические операции. Ассоциативность. Нейтральный элемент и его единственность. Симметричный элемент и его единственность.
31. Определение группы. Разрешимость уравнений в группах. Закон сокращения. Подгруппы. Правые и левые смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
32. Нормальные делитель группы. Гомоморфизм групп. Нормальный делитель и ядро гомоморфизма. Изоморфизмы групп и изоморфные группы. Образ гомоморфизма и фактор-группа по его ядру.
33. Кольцо и поле. Примеры. Простейшие свойства. Подкольцо и идеал кольца. Пересечение и сумма идеалов. Идеалы кольца целых чисел. Кольцо вычетов по данному модулю.
34. Фактор-кольцо по идеалу. Гомоморфизм колец, их ядра и образы. Идеал как ядро гомоморфизма. Изоморфизм колец. Образ гомоморфизма и фактор-кольцо по его ядру. Поле как ассоциативное, коммутативное кольцо с 1, без собственных идеалов.
35. Область целостности. Отношения делимости и ассоциированности. Группы обратимых элементов. Классы ассоциированных элементов, индуцированный порядок на множестве этих классов. Соответствие между ними и главными идеалами кольца.
36. Неразложимые элементы области целостности. Факториальные кольца. Область главных идеалов. Фактор-кольцо по главному идеалу, порождённому неразложимым элементом. НОД и НОК и их свойства. Взаимнопростые элементы. Простота неразложимого элемента в ОГИ.
37. Евклидовы кольца. Евклидово кольцо как ОГИ. Факториальность евклидова кольца. Каноническое разложение элемента и его элементарные делители.
38. Свойства НОД и НОК в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
39. Многочлен над данным полем. Сложение и умножение. Свойства. Степень суммы и произведения. Кольцо многочленов. Кольцо многочленов как область целостности. Группа обратимых элементов, отношение делимости и ассоциированности.
40. Кольцо многочленов как евклидово кольцо. Деление с остатком. НОД и его представление в виде суммы кратных исходных многочленов. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты. Значение многочлена.
41. Корни многочлена. Теорема Безу и следствие из неё. Схема Горнера. Оценка числа корней.
42. Кратность корня многочлена и её свойства. Теорема о кратных корнях. Производная многочлена и её свойства.
43. Факториальность кольца многочленов над полем. Каноническое разложение многочлена и его элементарные делители. Существование корня у многочлена над полем комплексных чисел (без доказательства). Неприводимые многочлены над этим полем. Разложение на линейные множители. Элементарные делители. Число корней с учётом кратности. Формула Виета.
44. Единственность многочлена с данной таблицей значений. Формула Лагранжа. Существование многочлена с данной таблицей значений. Определяемостъ многочлена над бесконечным полем его значениями.
45. Корни многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимый многочлен над нолем R. Каноническое разложение многочлена над нолем R.
46. Матрицы. Скалярная, единичная, диагональная, блочно-диагональная, треугольная, блочно-треугольная, мономиальная, частично-мономиальная, элементарная матрицы. Линейные операции над матрицами и их свойства. Умножение матриц. Ассоциативность и дистрибутивность. Транспонирование и его свойства. Кольцо матриц над коммутативным, ассоциативным кольцом с 1.
47. Элементарные преобразования матриц и умножение на элементарную матрицу. Канонические матрицы над евклидовым кольцом. Приведение матрицы к каноническому при помощи элементарных преобразований.
48. Подстановки и перестановки. Инверсии и транспозиции. Чётность подстановки и перестановки. Гомоморфизм группы подстановок на группу вычетов по модулю 2 и его ядро. Изменение характера чётности перестановки при применении транспозиции. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Характер чётности цикла и его длина. Декремент подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций.
49. Определитель матрицы. Свойства определителей.
50. СНОД миноров матрицы над евклидовым кольцом и её сохранение при элементарных преобразованиях. Единственность канонической матрицы, эквивалентной данной. Инвариантные множители и их вычисление.
51. Теорема Лапласа. Разложение по строке или столбцу.
52. Следствие из теоремы Лапласа. Определитель блочно-треугольной матрицы. Сумма произведений элементов строки на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки. Определитель матрицы после замены строки или столбца. Определитель произведения матриц.
53. Обратная матрица. Унимодулярная и невырожденная матрицы. Условие обратимости матрицы. Присоединённая матрица. Формула нахождения элементов обратной матрицы.
54. СНОД унимодулярной матрицы над евклидовым кольцом. Унимодулярная матрица над произведением элементарных матриц. Способ нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Группа унимодулярных матриц. Критерий эквивалентности матриц над евклидовым кольцом и над полем.
55. Системы линейных уравнений и соответствующие им матричные уравнения. Равносильность систем. Совместные и несовместные системы. Сохранение множества решений при умножении унимодулярной матрицы на расширенную матрицу данной системы линейных уравнений. Теорема Крамера и формула Крамера.
56. Критерий совместности системы линейных уравнений над евклидовым кольцом. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение множества решений системы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов расширенной матрицы системы.
57. Частично мономиальные системы линейных уравнений в их решение. Стандартные системы уравнений. Приведение расширенной матрицы системы уравнений над полем к частично мономиальной матрице с помощью элементарных преобразований строк. Метод Гаусса. Решение матричных уравнений.
58. Эллипс.
59. Гипербола.
60. Парабола.
61. Полярные уравнения кривых второго порядка.
62. Связь между координатами точки в двух прямоугольных декартовых системах координат на плоскости.
63. Канонические уравнения кривых второго порядка. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду при помощи перевода к новой прямоугольной декартовой системе координат.
64. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Растяжение и сжатие вдаль оси координат. Примеры. Уравнения проекций линии на координатную плоскость.
65. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Эллипсоид. Гиперболоиды.
66. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Параболоиды. Конус второго порядка. Цилиндрические поверхности второго порядка.