Теория вероятностей и математическая статистика.

Предисловие.

Целью дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" является изложение основных сведений о построении и анализе математических моделей, учитывающих случайные факторы. Следует обратить особое внимание на то, чтобы студенты хорошо усвоили фундаментальные понятия теории вероятностей, а также овладели основными методами постановки и решения задач математической статистики.

Введение.

Предмет и методы дисциплины. Употребление вероятностных методов в науке. Перспективы использования теории вероятностей и математической статистики в различных областях народного хозяйства.

Теория вероятностей.

• Вероятностные методы. Случайные события и соотношения между ними. Понятие о вероятности. Дискретные вероятностные модели. Вероятностное пространство. Аксиоматика. Условные вероятности. Независимость событий.
• Случайные величины. Случайные величины и распределения вероятностей. Многомерные случайные величины. Условные функции распределения. Независимость. Функциональные преобразования случайных величин.
• Числовые характеристики случайных величин. Интегралы Лебега-Стилтьеса и Римана-Стилтьеса. Математическое ожидание и его свойства. Условные математические ожидания. Числовые характеристики. Случайные величины. Количество информации.
• Последовательности случайных величин. Виды сходимости случайных величин. Соотношения между видами сходимости. Закон больших чисел и его частные случаи. Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова.
• Характеристические функции случайных величин. Характеристическая функция и ее свойства. Теоремы Хелли о слабой сходимости. Теорема непрерывности для характеристических функций.
• Предельные теоремы. Центральная предельная теорема. Схема серий. Сходимость к законам Гаусса и Пуассона.

Математическая статистика.

• Точечные оценки. Предмет математической статистики. Теория оценивания. Неравенство Крамера-Рао. Неравенство информации. Достаточные статистики. Метод максимального правдоподобия. Асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Его оптимальность.
• Интервальное оценивание. Теория доверительных интервалов.
• Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Последовательный анализ Вальда. Дисперсионный анализ. Критерии согласия.

Примерный перечень лабораторных и практических занятий.

• Непосредственное вычисление вероятностей.
• Описание случайных величин в терминах функций распределения характеристических и производящих функций. Виды распределений.
• Моменты, в частности, математические ожидания и дисперсии случайных величин. Вычисление моментов типичных случайных величин.
• Закон больших чисел. Достаточные условия. Применение неравенства Чебышева. Усиленный закон больших чисел. Роль леммы Бореля-Кантелли.
• Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Центральная предельная теорема.
• Простейшие случайные процессы. Случайные блуждания, ветвящиеся процессы. Пуассоновский и винеровский процессы. Понятие марковского процесса. Составление дифференциальных уравнений для переходных вероятностей при описании типичных систем массового обслуживания.
• Непосредственное вычисление информации и энтропии.
• Типичные статистические решения и статистические гипотезы.
• Построение точечных и интервальных оценок параметров типичных распределений. Методы построения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия.
• Линейные статистические модели. Метод наименьших квадратов. Построение регрессий.
• Примеры построения планов статистических экспериментов.
• Ориентировочное число контрольных работ - 4.

• А. А. Боровков. Теория вероятностей: Учебное пособие. Москва, Наука, 1986.
• Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. Москва, Наука, 1988.
• С. Карлин. Основы теории случайных процессов. Москва, Мир, 1988.
• В. П. Чистяков. Курс теории вероятностей и математической статистики. Москва, Наука, 1987.