Лектор: Размыслович Георгий Прокофьевич, доц., кандидат физ.-мат. наук.

1-й курс, 2-й семестр 1998-1999 учебного года.
Краткое описание курса.

1. Определение векторного пространства. Примеры. Следствия.
2. Векторные подпространства. Примеры.
3. Линейная зависимость векторов. Эквивалентные системы векторов.
4. Базис и ранг системы векторов. Теорема о количестве векторов в базисе.
5. Базис и размерность векторных пространств. Теорема о базисе n-мерного векторного пространства.
6. Сумма и пересечение векторных подпространств.
7. Прямая сумма векторных подпространств.
8. Координаты вектора. Свойства.
9. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Следствия.
10. Элементарные преобразования матрицы и её ранг.
11. Преобразование координат. Матрица перехода от одного базиса к другому.
12. Критерий совместности системы линейных уравнений. Нахождение решения неоднородных систем.
13. Системы однородных линейных уравнений. Базис подпространства решений.
14. Подпространства арифметического пространства и однородные системы линейных уравнений. Связь между решениями однородной и неоднородной систем уравнений.
15. Определение и простейшие свойства линейного отображения.
16. Изоморфизм векторных пространств.
17. Линейные преобразования векторных пространств. Определения. Примеры.
18. Матрица линейного преобразования. Формула преобразования координат вектора.
19. Действия над линейными преобразованиями.
20. Матрица линейного преобразования при переходе к новому базису.
21. Подобные матрицы. Свойства подобных матриц.
22. Ранг, ядро и дефект линейного преобразования.
23. Теорема о ранге произведения двух линейных преобразований. Следствие.
24. Инвариантные подпространства. Определение. Примеры. Инвариантные подпространства относительно заданного линейного преобразования f. Сумма и пересечение инвариантных подпространств.
25. Инвариантные подпространства и матрица линейного преобразования.
26. Одномерные инвариантные подпространства.
27. Собственные значения, собственные векторы. Свойства собственных векторов.
28. Характеристический многочлен. Свойства характеристического многочлена.
29. Подпространства собственных векторов. Линейный оператор простой структуры.
30. Присоединённые векторы. Теоремы о собственных и присоединённых векторах. Жорданов базис.
31. Полиномиальные матрицы. Элементарные преобразования. Эквивалентность полиномиальной матрицы некоторой канонической.
32. Система НОД l-матрицы. Единственность канонической матрицы. Первый критерий эквивалентности l-матриц.
33. Система элементарных делителей l-матриц. Второй критерий эквивалентности l-матриц.
34. Унимодулярные матрицы. Свойства унимодулярных матриц. Третий критерий эквивалентности l-матриц.
35. Критерий эквивалентности характеристических матриц.
36. Критерий подобия матриц.
37. Второй метод доказательства критерия подобия матриц.
38. Нормальная жорданова форма матрицы. Теорема Жордана.
39. Связь собственных и присоединённых векторов с жордановой формой матрицы.
40. Обобщённая жорданова форма матрицы.
41. Минимальный многочлен.
42. Линейные формы.
43. Билинейные формы. Симметрические и кососимметрические формы.
44. Связь между матрицами билинейной функции в разных базисах.
45. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Теорема Лагранжа.
46. Нормальный вид квадратичной формы над полем комплексных чисел.
47. Нормальный вид квадратичной формы над полем вещественных чисел. Закон инерции вещественных квадратичных форм.
48. Положительно определённая квадратичная форма. Нормальный вид положительно определённых квадратичных форм. Необходимые признаки положительной определённости квадратичных форм.
49. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичных форм.
50. Распадающиеся квадратичные формы.
51. Евклидово пространство. Определение. Примеры. Простейшие свойства скалярного произведения.
52. Длина вектора. Основные неравенства. Следствия.
53. Ортогональные векторы. Процесс ортогонализации.
54. Определитель Грама. Матрицы скалярного произведения.
55. Ортогональные матрицы. Свойства ортогональных матриц.
56. Ортогональные дополнения подпространств.
57. Унитарное пространство.
58. Изометрические преобразования.
59. Симметрические преобразования.
60. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогональных преобразований.
61. Упрощение уравнения поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.
62. Векторные и матричные нормы. Определения и примеры.
63. Связь между векторными и матричными нормами.
64. Полуобратные матрицы. Псевдообратная матрица.
65. Скелетное разложение матрицы. Теорема о единственности псевдообратной матрицы.
66. Теорема существования псевдообратных матриц. Свойства псевдообратных матриц.
67. Связь полуобратных матриц с матричными уравнениями.
68. Нормальное псевдорешение систем линейных уравнений.