Геометрия и алгебра.

Предисловие.

Дисциплина "Геометрия и алгебра" знакомит студентов с фундаментальными методами алгебры и аналитической геометрии. Она непосредственно связана с дисциплиной "Математический анализ" и является базой для дисциплин "Дифференциальные уравнения", "Уравнения математической физики", "Введение в вычислительную математику", "Численные методы", "Теория вероятностей и математическая статистика", "Исследование операций".

В процессе обучения студенты должны усвоить методику построения алгебраических структур, внутреннюю логику, связывающую линейную алгебру и аналитическую геометрию, и приобрести навыки исследования и решения задач алгебры и аналитической геометрии.

Введение.

Предмет дисциплины "Геометрия и алгебра". Исторические сведения о развитии этого раздела математики. Роль и место геометрии и алгебры в системе математического образования.

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

• Метод координат на плоскости и в пространстве. Векторная алгебра. Задачи, связанные с прямой на плоскости, плоскостью и прямой в пространстве.
• Уравнение линии второго порядка. Уравнение поверхности второй степени. Приведение уравнений линии и поверхности второй степени к каноническому виду. Метод Лагранжа. Инварианты уравнений кривых и поверхностей второй степени. Использование инвариантности для исследования кривых и поверхностей. Применение аналитической геометрии в компьютерной графике.

Алгебра.

• Алгебраическая операция. Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество.
• Группа, кольцо, поле.
• Комплексные числа.
• Матричная алгебра. Определители. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Матричные уравнения. Метод Гаусса.
• Кольцо многочленов. Деление с остатком. Алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Корни многочлена. Интерполяция. Схема Горнера. Рациональные дроби. Многочлены над Q. Примитивные многочлены. Критерий Эйзенштейна. Многочлены над конечными полями.
• Линейное пространство. Базис и размерность. Подпространства. Линейные оболочки. Сумма и пересечение подпространств. Ранг системы векторов. Ранг матрицы и теорема о базисном миноре. Критерий совместности систем линейных уравнений. Общее решение систем линейных уравнений.
• Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора. Невырожденный линейный оператор.
• Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен. Оператор простой структуры.
• Полиномиальные матрицы. Теорема Гильберта. Критерий эквивалентности полиномиальных матриц. Критерий подобия матриц. Минимальный многочлен. Жорданова нормальная форма матрицы.
• Билинейные и квадратичные формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к нормальному виду. Критерий эквивалентности квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичных форм.
• Евклидовы и унитарные пространства. Принцип ортогональности Грамма-Шмидта. Изометрический оператор. Самосопряжённый оператор. Разложение произвольного линейного оператора в произведение изометрического и самосопряжённого операторов.
• Квадрики. Упрощение уравнения квадрики. Упрощение уравнения поверхности второго порядка.
• Векторные и матричные нормы. Псевдообратные матрицы.

• Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Минск, Высшая школа, 1976.
• Кудрин А. Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1975.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Москва, 1981-1984.
• Воеводин В. В. Линейная алгебра. Москва, Наука, 1990.
• Размыслович Г. П., Феденя М. М., Ширяев В. М. Геометрия и алгебра. Минск, Университетское, 1987.
• Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, Наука, 1980.
• Фадеев Д. Н., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. Москва, Наука, 1977.
• Бордун А. А., Мурашко Е. А., Толкачев М. М., Феденко А. С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Минск, Университетское, 1989.