Главная След. Др. раздел

Лектор: Размыслович Георгий Прокофьевич, доц., кандидат физ.-мат. наук.

Экзаменационные вопросы по курсу "Геометрия и алгебра"

1-й курс, 1-й семестр 1998-1999 учебного года.
Краткое описание курса.

  1. Метод координат на прямой.
  2. Система координат на плоскости: прямоугольная декартова, полярная. Формула расстояния между двумя точками
  3. Общие декартовы системы координат.
  4. Действия над векторами. Свойства линейных операций. Коллинеарность и компланарность векторов.
  5. Скалярное произведение векторов и его свойства.
  6. Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости и независимости векторов.
  7. Проекция векторов на ось и на плоскость. Взаимосвязь между проекциями векторов и скалярным произведением.
  8. Теорема о координатах линейной комбинации векторов. Следствия.
  9. Векторное произведение векторов и его свойства.
  10. Смешанное произведение трёх векторов.
  11. Прямая на плоскости и в пространстве.
  12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости и пространстве, заданных в векторно-параметричском виде.
  13. Общее уравнение прямой на плоскости.
  14. Частные случаи расположения прямой на плоскости, заданной уравнением общего вида на плоскости.
  15. Угол между прямыми на плоскости и пространстве.
  16. Нормальное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
  17. Пучок прямых.
  18. Уравнение плоскости в пространстве.
  19. Частные случаи расположения плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей.
  20. Нормальное уравнение плоскости.
  21. Взаимное расположение прямой и плоскости.
  22. Угол между прямой и плоскостью.
  23. Пучок и связка плоскостей.
  24. Переход от одних видов записи прямой в пространстве к другим.
  25. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
  26. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
  27. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса.
  28. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы.
  29. Свойства эллипса (гиперболы). Эквивалентное определение эллипса (гиперболы).
  30. Каноническое уравнение параболы. Исследование формы параболы.
  31. Касательная к эллипсу и её свойства.
  32. Касательные к гиперболе, параболе и их свойства.
  33. Преобразование прямоугольных координат на плоскости.
  34. Преобразование общих декартовых координат на плоскости.
  35. Линии второго порядка.
  36. Эллипсоид.
  37. Каноническое уравнение поверхности второго порядка.
  38. Построение системы комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел.
  39. Свойства сопряжённых комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической и экспоненциальной форме.
  40. Извлечение корня n-ой степени из комплексных чисел.
  41. Корни n-ой степени из единицы и их свойства.
  42. Алгебраическая операция.
  43. Группа, кольцо, поле.
  44. Понятие многочлена. Действия над многочленами.
  45. Свойства многочленов и операции над ними. Свойства.
  46. Алгоритм деления многочленов с остатком.
  47. Свойства делимости.
  48. НОД. Алгоритм Евклида.
  49. Теорема о разложении НОД. Следствия.
  50. Корни многочленов. Теорема Безу. Следствие. Схема Горнера.
  51. Кратные корни. Теорема о кратном корне.
  52. Основная теорема алгебры. Следствие о разложении многочлена на линейные множители. Теорема о единственности разложения.
  53. Следствия из основной теоремы алгебры для многочленов f(x)ОC[x].
  54. Следствия из основной теоремы алгебры для многочленов f(x)ОR[x].
  55. Матрица. Частные виды матриц.
  56. Линейные операции над матрицами.
  57. Умножение матриц. Свойства произведения матриц.
  58. Транспонирование матриц. Свойства транспонирования.
  59. Перестановки.
  60. Определитель. Вычисление определителей первого, второго и третьего порядков.
  61. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с нулевой строкой. Вынесение общего множителя строки (столбца) за знак определителя. Перестановка двух строк определителя.
  62. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками. Следствие. Сумма определителей. Прибавление к одной строке определителя линейной комбинации других строк.
  63. Миноры и алгебраические дополнения.
  64. Теорема о разложении определителя.
  65. Теорема аннулирования. Теорема Лапласа (без доказательства).
  66. Определитель произведения матриц.
  67. Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия существования обратных матриц.
  68. Теорема о единственности обратной матрицы. Свойства обратных матриц.
  69. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем.
  70. Решение невырожденных систем. Правило Крамера.
  71. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
  72. Определение векторного пространства. Примеры. Свойства.
  73. Векторное подпространство. Критерий. Примеры.
  74. Линейная зависимость и независимость векторов.
  75. Базис и размерность векторных пространств. Количество векторов в базисе.
  76. Эквивалентные системы векторов. Ранг системы векторов.
  77. Векторное пространство Vn. Теорема о базисе в этом пространстве.
  78. Сумма и пересечение подпространств.
  79. Прямая сумма подпространств.
  80. Координаты вектора.
  81. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Метод окаймления миноров.
  82. Элементарные преобразования и ранг матрицы.
  83. Преобразования координат.
  84. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Литература.

Главная Предыд. След. Др. раздел
Hosted by uCoz