Лектор: Мазаник Сергей Алексеевич, доц., кандидат физ.-мат. наук.

2-й курс, 4-й семестр 1999-2000 учебного года.

1. Комплексные числа. Свойства и геометрическая интерпретация. Показательная и тригонометрическая форма комплексных чисел.
2. Последовательность комплексных чисел. Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая проекция.
3. Комплекснозначные функции. Кривые и области в С.
4. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность.
5. Линейная функция. Свойства и конформное отображение.
6. Степенная функция. Свойства и конформное отображение.
7. Экспонента и логарифм. Свойства и конформные отображение.
8. Функция w=1/z. Свойства и конформное отображение.
9. Тригонометрические и гиперболические функции. Свойства и конформные отображение.
10. Обратные тригонометрические и гиперболические функции. Выражение этих функций через логарифм.
11. Дифференцируемые ФКП и их свойства.
12. Условия Коши-Римана.
13. Сопряжённые гармонические функции.
14. Геометрический смысл аргумента производной ФКП.
15. Геометрический смысл модуля производной ФКП.
16. Вычисления длин дуг и площадей образов при отображении w = f(z).
17. Определение интеграла ФКП. Сведение к КРИ-2.
18. Вычисление интеграла ФКП и его свойства.
19. Интегральная теорема Коши.
20. Неопределённый интеграл ФКП.
21. Интегральная формула Коши.
22. Теорема о среднем для дифференцируемых ФКП и гармонических функций.
23. Принцип максимума модуля дифференцируемой ФКП.
24. Ряды с комплексными членами (числовые, функциональные, степенные).
25. Критерий регулярности функции.
26. Интегральное представление для производной регулярной функции.
27. Теоремы Лиувилля и Морера.
28. Первая теорема Вейерштрасса о рядах.
29. Вторая теорема Вейерштрасса о рядах.
30. Представление регулярных функций рядом Тейлора.
31. Нули регулярной функции.
32. Множество сходимости ряда Лорана.
33. Представление функций рядами Лорана.
34. Свойства ряда Лорана.
35. Ряд Лорана в окрестности особой точки. Классификация особых точек.
36. Поведение функции в окрестности устранимой особой точки.
37. Поведение функции в окрестности полюса.
38. Поведение функции в окрестности существенно особой точки. Теорема Сохоцкого.
39. Вычисление вычета в простом полюсе.
40. Вычисление вычета в полюсе порядка n.
41. Исследование бесконечно удалённой особой точки и вычисление вычета в ней.
42. Основная теорема о вычетах и её следствия.
43. Вычисление интегралов вида .
44. Вычисление интегралов вида .
45. Лемма Жордана.
46. Вычисление интегралов вида .
47. Вычисление v.p. .
48. Логарифмический вычет и его вычисление.
49. Принцип аргумента.
50. Теорема Руше.
51. Основная теорема алгебры.
52. Основные свойства дробно-линейного отображения (конформность, круговое свойство).
53. Построение дробно-линейного отображения по трем точкам.
54. Свойство симметрии дробно-линейного отображения.
55. Примеры дробно-линейного отображения полуплоскости и круга.
56. Основные принципы конформных отображений.
57. Теорема Римана. Нормировка конформного отображения.
58. Функция Жуковского. Ее характеристика и основные отображения.
59. Преобразование Лапласа. Достаточные условия существования изображения.
60. Построение изображений основных элементарных функций.
61. Свойства изображений: линейность; теоремы подобия, запаздывания, смещения; дифференцирование и интегрирование оригинала; дифференцирование и интегрирование изображения.
62. Свертка функций. Теорема Бореля.
63. Формула Меллина.
64. Теорема обращения.
65. Вычисление интеграла Меллина с помощью вычетов.
66. Интеграл Дюамеля и его применение.
67. Теоремы разложения.
68. Основные приложения операционного исчисления.
69. Аналитическое продолжение функций.
70. Аналитическое продолжение функций. Теорема единственности.
71. Методы аналитического продолжения функций.