Лектор: , доц., кандидат физ.-мат. наук.

2-й курс, 3-й семестр 1999-2000 учебного года.

1. Сходимость числовых рядов (необходимое условие сходимости ряда, критерий Коши, критерий сходимости через остаток).
2. Эталонные ряды (геометрический ряд, гармонический ряд, обобщённый гармонический ряд).
3. Критерий сходимости положительного ряда. Теоремы сравнения.
4. Интегральный признак сходимости ряда.
5. Признак Коши сходимости ряда (в допредельной и предельной формах).
6. Признак Даламбера сходимости ряда (в допредельной и предельной формах).
7. Признак Куммера сходимости ряда.
8. Признак Бертрана сходимости ряда.
9. Признак Раабе сходимости ряда.
10. Признак Гаусса сходимости ряда.
11. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.
12. Признак Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов.
13. Абсолютная и неабсолютная сходимость числовых рядов. Критерий абсолютной сходимости. Необходимое условие неабсолютной сходимости.
14. Перестановка членов абсолютно сходящегося числового ряда.
15. Перестановка членов неабсолютно сходящегося числового ряда.
16. Действия над числовыми рядами (линейная комбинация, умножение).
17. Связь между сходимостью бесконечных произведения я рядов.
18. Основные понятия о равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов (Критерий Коши для функциональных последовательностей и рядов, критерий сходимости функциональной последовательности через супремум. Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда).
19. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
20. Признак Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.
21. Признак Дини равномерной сходимости функционального ряда.
22. Непрерывность суммы функционального ряда (теорема Стокса-Зейделя).
23. Почленный переход к пределу в функциональных рядах.
24. Интегрирование рядов функций.
25. Дифференцирование рядов функций.
26. Локальная равномерная сходимость рядов и её применение.
27. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда.
28. Равномерная сходимость степенных рядов.
29. Функциональные свойства степенных рядов.
30. Представление функций степенными рядами.
31. Действия над степенными рядами (сумма, произведение, частное).
32. Формула Стирлинга.
33. Вычисление и свойства НИ-1.
34. НИ-1 от положительных функций Теорема сравнения.
35. Признаки Дирихле и Абеля сходимости НИ-1.
36. Абсолютная и неабсолютная сходимость НИ-1. Исследование сходимости НИ-1 методом выделения главной части.
37. Главное значение НИ и его свойства.
38. НИ-2.
39. Вычисление интеграла .
40. Кратные несобственные интегралы.
41. Равномерный частный предел функции. Существование равномерного частного предела у непрерывной на прямоугольнике функции двух переменных. Свойства равномерного частного предела.
42. Теорема о предельном переходе в ИЗОП.
43. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование ИЗОП.
44. ИЗОП с переменными пределами.
45. Равномерная сходимость НИЗОП. Критерий Коши. Связь с рядами. Признак Вейерштрасса.
46. Признаки Абеля к Дирихле равномерной сходимости НИЗОП.
47. Предельный переход в НИЗОП. Непрерывность НИЗОП.
48. Дифференцирование НИЗОП.
49. Интегрирование НИЗОП.
50. Интеграл Эйлера.
51. Интеграл Дирихле.
52. Интегралы Лапласа.
53. Формулы Фруллани.
54. В-функция. Её свойства и вычисление. Представление В-функции интегралом по бесконечному промежутку.
55. Г-функция. Ее свойства и вычисление. Связь В- и Г-функций.
56. Тригонометрический многочлен наименьшего отклонения.
57. Построение ряда Фурье. Ряд Фурье для тригонометрического многочлена. Ряд Фурье функции, являющейся суммой равномерно сходящегося тригонометрического ряда.
58. Ряд Фурье для функций произвольного периода.
59. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Представление функции рядами Фурье только по синусам и только по косинусам.
60. Формула Дирихле.
61. Теорема Римана-Лебега.
62. Принцип локализации.
63. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.
64. Неравенство Бесселя.
65. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье.
66. Комплексная форма ряда Фурье.
67. Сходимость ряда Фурье в среднем.
68. Полнота и замкнутость тригонометрической системы.
69. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.
70. Аналог формулы Дирихле.
71. Представление функций интегралом Фурье.
72. Интеграл Фурье для чётных и нечётных функций. Представление функций, заданных на положительной полуоси, интегралом Фурье.
73. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье.
74. Косинус- и синус- преобразование Фурье. Связь с преобразованием Фурье.
75. Свойства преобразования Фурье.