Дифференциальные уравнения.

Предисловие.

Дисциплина курса "Дифференциальные уравнения" знакомит студентов с основными методами интегрирования, с математическими моделями процессов, а также проводит их исследование. Она базируется на дисциплинах "Математический анализ", "Геометрия и алгебра", а сама является базовой дисциплиной для курса "Уравнения математической физики".

Введение.

Математическое моделирование процессов и явлений в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные задачи в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Элементарные дифференциальные уравнения.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Линейные уравнения первого порядка и сводящиеся к нему уравнения. Специальные уравнения Риккати. Уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнения высших порядков.

Линейные дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Фазовая плоскость однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм интегрирования однородных стационарных линейных дифференциальных уравнений n-ного порядка. Исследование уравнений с постоянными коэффициентами. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Экспонентное представление решений. Исследование системы.

Общая теория систем дифференциальных уравнений.

Существование и единственность решений задачи Коши. Продолжимость решений. Первые интегралы системы. Линейные уравнения Эйлера. Алгоритм построения решений уравнений Эйлера. Разложение решений дифференциальных уравнений с степенные ряды.

Уравнения с частными производными.

Классификация уравнений с частными производными первого порядка. Линейные и квазилинейные уравнения. Задача Коши и алгоритм ее решения.

Основная:
• Богданов Ю. С., Сыроид Ю. Б. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Минск, Высшая Школа, 1983.
• Эльсгольц Л. Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: Учебник. Москва, Наука, 1965.
• Альсевич Л. А., Черенкова Л. П. Практикум по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. Минск, Высшая школа, 1990.
• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва, Наука,1976.
  Дополнительная:
• Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учебник. Москва, Наука, 1985.
• Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.