Прикладная алгебра.

Предисловие.

При создании и эксплуатации современных систем связи, локальных и глобальных систем все большую роль играют проблемы защиты информации. В курсе изучаются дополнительные разделы алгебры и теории чисел и их многочисленные применения в криптографии и алгебраической теории кодирования.

Введение.

Области применения компьютерных методов защиты информации. Элементы теории чисел и ее приложения. Кольцо целы чисел, НОК, НОД, алгоритм Евклида. Взаимно простые числа, простые числа, факторизация. Сравнения первой степени, функция Эйлера, теорема Ферма. RSA-криптосистема и система цифровой подписи на ее основе. Пороговая схема на основе CRT. Распределение ключей по Диффи-Хелмену.

Теория групп и ее применение.

Основные понятия теории групп. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Гомоморфизмы. Группы преобразований. Основы теории абелевых групп. Структура алгоритмов DES, ГОСТ, IDEA. Структура обратных преобразований, роль инволюций. Групповые коды.

Кольца, поля и их приложения к теории кодирования. Гомоморфизмы и идеалы колец. Сравнения по модулю идеала. Факторкольца. Поля и их характеристики. Алгебраические расширения полей. Строение конечных полей. Многочлены над конечными полями. Полиномиальные коды, линейные рекурренты, регистры сдвига с прямой и обратной связью. Код Хэмминга, БЧХ-коды.

• Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. Москва, 1976.
• Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Москва, 1988.
• Лидл Р., Нидерайтер Р. Конечные поля. Москва, 1989.
• Humprays J. Numbers Groups Codes., 1989.
• Salomaa A. Public Key Cryptography, Springer, 1995.