Лектор: Булатов Владимир Иванович, доц., кандидат физ.-мат. наук.

2-й курс, 4-й семестр 1999-2000 учебного года.
Краткое описание курса.

1. Комплексные числа в алгебраической форме и операции над ними. Тригонометрическая и экспоненциальная (показательная) формы комплексных чисел.
2. Критерий сходимости последовательности комплексных чисел.
3. Ряды с комплексными членами. Критерий сходимости рядов с комплексными членами.
4. Комплекснозначные функции действительного переменного. Кривые и множества на комплексной плоскости.
5. Элементарные ФКП (экспоненциальная, гиперболическая и тригонометрическая ФКП, тригонометрические ФКП, общая, показательная и степенная ФКП).
6. Сходящиеся и непрерывные ФКП.
7. Дифференцируемые ФКП. Критерий дифференцируемости ФКП (условие Коши-Римана).
8. Сопряжённые гармонические функции.
9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Конформные отображения.
10. Интеграл ФКП, его вычисления через КРИ-2. Основные свойства.
11. Интегральная теорема Коши и следствие из неё.
12. Первообразная ФКП. Теорема существования первообразной и следствия из неё.
13. Теорема об общем виде первообразной аналитической функции и следствие из неё (формула двойной подстановки).
14. Интегральная формула Коши и следствие из неё (теорема о среднем).
15. Принцип максимума модуля аналитической функции.
16. Лемма о дифференцировании ИЗОП ФКП по правилу Лейбница.
17. Теорема об интегральном представлении производной аналитической функции и замечание к ней.
18. Малая теорема Лиувиля и следствие из неё (основная теорема алгебры).
19. Теорема Мореры.
20. Поточечная и равномерная сходимость последовательностей ФКП и рядов ФКП.
21. Первая теорема Вейерштрасса для рядов аналитической функции.
22. Вторая теорема Вейерштрасса для рядов аналитической функции.
23. Степенные ряды и ряды Тейлора в комплексной области и их сходимость, теорема Абеля.
24. Теорема о разложении аналитической ФКП в степенной ряд (ряд Тейлора).
25. Нули аналитической ФКП. Критерий m-кратности нуля аналитической функции.
26. Теорема о нулях аналитической функции ФКП и следствие из неё (теорема о единственности ФКП).
27. Ряд Лорана и множество его сходимости.
28. Теорема о разложении ФКП в ряд Лорана.
29. Следствие из теоремы о разложении ФКП в ряд Лорана (неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана, теоремы Лиувиля для целых ФКП).
30. Классификации изолированных особых точек однозначного характера.
31. Критерий УОТ.
32. Критерий полюса.
33. Критерий СОТ. Теорема Сохоцкого и замечание к ней (теорема Пикара).
34. Основная теорема о вычетах.
35. Вычисление вычета относительно полюса.
36. Вычет в БУТ и его вычисление.
37. Теорема о сумме вычетов по всем особым точкам.
38. Вычисление определённых интегралов от рационально-тригонометрических выражений через вычеты.
39. Теорема о вычислении несобственных интегралов вида [ ] через вычеты и замечания и следствия к ней.
40. Лемма Жордана.
41. Теорема о вычислении несобственных интегралов вида [ ] через вычеты и замечания и следствия к ней.
42. Принцип аргумента. Теорема о нулях и полюсах мероморфных ФКП.
43. Теорема Руше.
44. Теорема о разложении мероморфной ФКП на элементарные дроби и замечания к ней.
45. Теорема о разложении целой функции в бесконечное произведение и замечание к ней.
46. Преобразование Лапласа функции конечного роста и его сходимость.
47. Линейность преобразования Лапласа. Теорема подобия.
48. Теорема запаздывания и смещения.
49. Теорема об изображении производной и замечания к ней.
50. Теорема об изображении первообразной.
51. Дифференцирование и интегрирование изображений.
52. Теорема умножения (изображение свертки) и замечание к ней.
53. Изображение периодический и некоторых неэлементарных функций.
54. Теорема Мелена.
55. Теорема обращения.
56. Теорема о восстановлении оригиналов с помощью вычетов.
57. Операционные исчисления и его приложение.

Сокращения:
• ФКП - функция комплексных переменных;
• КРИ - криволинейный интеграл;
• ИЗОП - интеграл, зависящий от параметра.